Barisan deret

BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......arn-1
U1, U2, U3,......,Un

Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)


DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
Un > Un-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar


DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ..............................

¥
å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r



PENGGUNAAN

Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M0, M1, M2, ............., Mn

M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0

M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0

.
.
.
.

Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0


Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M0, M1, M2, .........., Mn

M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0

M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
.
.
.

Mn = {1 + P/100}n M0

Keterangan :

M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p <>

Relasi

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1.Himpunan A
2.Himpunan B
3.Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian
denganb Î B.
- Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
- Bila tidak demikian maka a R b

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1.Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
2.Kalimat terbuka P(x,y)
3.Diagram cartesius ( diagram A x B )
4.Diagram panah
- bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi
di dalam A.

contoh :

R = (A,B, P(x,y))
A = {2,3,4}
B = {3,4,5,6}
P(x,y) menyatakan x pembagi y

Himpunan penyelesaian relasi ini adalah

a. Himpunan pasangan berurutan

R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}

Contoh :
Via: aku senang permen dan coklat
Andre: aku senang coklat dan es krim
Ita: aku suka es krim

Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :
-Himpunan A adalah himpunan nama orang
A = { Via, Andre, Ita }
-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan
B = { es krim, coklat, permen }

Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)


a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut


I II III IV
a + - - +
b + + - -

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x


PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°



cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)



II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°